Выпускники! Если вы хотите подробнее узнать о решении задач №4, то ознакомьтесь с пособием А.Г. Корянов, Н.В. Надежкина "Задача В10 ЕГЭ-2014", пособие от авторов
Решение задач
Теория вероятностей — это наука,
изучающая события, которые могут произойти, а могут и не произойти. В школьном
курсе теории вероятностей рассматриваются лишь самые примитивные задачи, решить
которые может абсолютно каждый — надо лишь немного потренироваться.
Начнем
с некоторых понятий из теории вероятности.
1. Случайное
событие - это событие, которое либо произойдёт, либо нет.
Например, вы сдаёте экзамен. Выпадение определённого
билета – случайное событие.
2. Каждое случайное событие иметь свою вероятность произойти .
3. Испытание
– любое действие, которое может привести к одному или нескольким результатам.
4. Исход -
конечный результат испытания.
Например, подбросили кубик – это испытание. Выпасть может 1, 2, 3, 4, 5
или 6 – это исходы.
5. Благоприятный
исход - желаемый исход.
Для решения большинства задач на вероятность достаточно повторить классическое определение вероятности
события:
Вероятностью события А называется дробь , в числителе
которой стоит число благоприятных
исходов событию А - m, а в знаменателе -
число всех исходов -n.
P(A)=m/n
|
Не забудьте! Благоприятствующих событий не может быть больше,
чем вообще всех возможных, а значит числитель дроби никогда не превысит
знаменатель. В ответе на вопрос о вероятности события должно быть число,
удовлетворяющее условию 0 ≤ P ≤ 1.
Таким образом, с точки зрения
математических операций эта задача решается в одно действие.
И
в то же время требуется очень
внимательно разобрать ситуацию, заданную в условии, чтобы
·
выявить
элементарные события,
·
выделить
благоприятствующие,
·
не
пропустить ни одного из всех возможных исходов
·
и
не включить ни одного лишнего.
Задачи только на определение вероятности.
Пример
1.
В коробке 3 черных и 4 белых шара. Из неё наугад вынимают один шар. Какова
вероятность того, что вынутый шар будет: 1) черным; 2) белым?
Решение. Событие А – 1) «вынутый
шар черный», 2) «вынутый шар белый».Так как в коробке всего 3+4=7 шаров, то
есть всего 7 равновероятных возможностей вынуть шар из коробки. В трех из них
вынутый шар окажется черным, поскольку в коробке 3 черных шара. Значит,
вероятность того, что вынутый шар черный 3/7, а что белый 4/7.
Ответ: а)Р= 3/7 ; б) Р=
4/7.
Пример
2.
Телевизор у Марины сломался и показывает
только один случайный канал. Марина включает телевизор. В это время по шести
каналам из тридцати девяти показывают новости. Найдите вероятность того, что
Марина попадет на канал, где новости не идут.
Решение. Событие А –«новости
не идут». Всего каналов 39.Найдем количество каналов. по которым в это время
новости не идут 39 – 6 = 33.
Значит, вероятность того, что Марина
попадет на канал, где новости не идут равна
Р= 33/39 =11/13
Ответ: 11/13.
Пример3.
В среднем из 1000 садовых насосов,
поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно
выбранный для контроля насос не подтекает.
Решение.
Событие
A - "выбранный насос не подтекает".
Всего насосов n = 1000. Из них 5
подтекают, значит не подтекают m = 1000 - 5 = 995.
По формуле P(А) = 995/1000 = 0,995.
Ответ: 0,995
Задачи с использованием элементов комбинаторики.
В
этих задачах ответ также определяется по формуле P(A) = m/n, но подсчет числа n
всех возможных событий и числа m благоприятствующих событий заметно труднее,
чем в предыдущих случаях. Для этого используют различные методы перебора
вариантов и вспомогательные рисунки, таблицы, «дерево возможных вариантов»
Пример 1.
Игральную кость (кубик)
бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало не более 4 очков? (Ответ
округлите до сотых)
Решение. Здесь случайный эксперимент –
бросание кубика.
Элементарное
событие – число на выпавшей грани. Значит исходов 6.
Событию
А-{выпало не более 4 очков} благоприятствует 4 элементарных события: 1,2,3,4. Поэтому
Р(А) = 4/6 = 0,67.
Ответ: Р(А) = 0,67.
Пример2.
Игральную кость (кубик)
бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало менее 4 очков?
Решение. Здесь случайный эксперимент –
бросание кубика. Элементарное событие – число на выпавшей грани. Значит исходов 6.
Событию
А-{выпало менее 4 очков} благоприятствует 3элементарных события: 1,2,3. Поэтому
Р(А) = т/п = 3/6 =
0,5.
Ответ: Р(А) = 0,5.
Пример3.
Игральную кость (кубик) бросили один
раз. Какова вероятность того,что выпало нечетное число очков?
Решение. Здесь случайный эксперимент – бросание
кубика.Элементарное событие – число на выпавшей грани. Значит исходов 6.
Событию
А-{выпало нечетное число очков} благоприятствует 3элементарных события: 1,3,5.
Поэтому
Р(А) = 3/6 = 0,5.
Ответ: Р(А) = 0,5.
Пример 4.
В
случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность
того, что орел не выпадет ни разу.
Решение.Можно выписать и рассмотреть все
возможные исходы 3-ёх бросаний монеты: {ооо, ооp, оро, орр, роо, рор, рро,
ррр}, где о - сокращение от "орёл", р - сокращение от
"решка". Из перечисления видно, что всего исходов 8, а благоприя 1.
(Благоприятствующее только ррр).
По
формуле P(А) = 1/8 = 0,125.
Решение задач с применением таблиц.
Пример1.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите
вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6. Ответ
округлите до сотых.
Решение. Элементарный исход в этом опыте –упорядоченная
пара чисел. Первое число выпадет на первом кубике, второе – на втором.
Множество элементарных
исходов удобно представить таблицей.
Строки соответствуют количеству
очков на первом кубике, столбцы –
на втором кубике.
Всего элементарных событий
(исходов) 36.
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
Напишем в каждой клетке
сумму выпавших очков и закрасим клетки,
где сумма равна 6. Таких
ячеек 5. Значит, событию А -{сумма
выпавших очков равна
6} благоприятствует 5 элементарных исходов.
Поэтому, Р(А) = 5/36
= 0,14
Ответ: Р(А) = 0,14
Пример2.
В случайном эксперименте бросают
две игральные кости. Найдите
вероятность того, что в сумме выпадет более 10 очков.
Результат
округлите до сотых .
Решение.
Элементарный исход в этом опыте – упорядоченная пара чисел.
Первое число выпадет
на первом кубике, второе – на втором.
Множество элементарных
исходов удобно представить таблицей.
Строки соответствуют количеству
очков на первом кубике, столбцы –
на втором кубике.
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
Всего элементарных событий
36.
Событию А - {в сумме выпадет
более 10 очков} благоприятствуют 3
элементарных исхода. Поэтому,
Р(А) = 3/36 = 0,08.
Ответ: Р(А) 0,08.
