Задания 14


Пособие по решению задач №14
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения. Пособие по решению задач С2. ЕГЗ 2013


Решение задач №14 методом координат.

     В таких задач обычно требуется найти угол между прямыми или между плоскостями, или между прямой и плоскостью, а также расстояние между аналогичными объектами. Для этого удобно использовать векторы и метод координат.

Прямоугольная (декартова) система координат – совокупность точки О (называемой началом координат), единицы измерения и трёх попарно перпендикулярных прямых Ox, Oy и Oz (называемых осями координат: Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат), на каждой из которых указано направление положительного отсчёта. Плоскости хОу, уОz и zOx называют координатными плоскостями. 
Каждой точке пространства ставится в соответствие тройка чисел, называемых её координатами.



Простейшие задачи в координатах.


Определение координат вершин многогранников

1. Единичный куб A...D1



Координаты вершин А (0, 0, 0), А1 (0, 0, 1), В (1, 0, 0), В1 (1, 0, 1), D (0, 1, 0), D1 (0, 1, 1), 
С (1, 1, 0), С1 (1, 1, 1).

2. Правильная треугольная призма A…C1 , все ребра, которой равны 1.

Координаты вершин: А (0, 0, 0), А1 (0, 0, 1), В (1, 0, 0), В1 (1, 0, 1), С (0,5; , 0),
 С1 (0,5; , 1).

3. Правильная шестиугольная призма A...F1, все ребра которой равны 1.






Координаты вершин: А (0, 0, 0), А1 (0, 0, 1), В (1, 0, 0), В1 (1, 0, 1), С (1,5; , 0), С1 (1,5; , 1), D (1, (1, Е (0, , (0, ,
F(-0,5 , 0), (-0,5, 1).

4. Правильная треугольная пирамида (тетраэдр) ABCD все ребра которой равны 1.



Координаты вершин: А (0, 0, 0), В (1, 0, 0), С (0,5; , 0), D (0,5,

5. Правильная четырехугольная пирамида SABCD, все ребра которой равны 1.


Координаты вершин: А (0, 0, 0), В (1, 0, 0), С (1, 1, 0), D (0, 1, 0 S (0,5; 0,5; ).

6. Правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2.


Координаты вершин: А (0, 0, 0), В (1, 0, 0), С (1,5; , 0), D (1, Е (0,
 F (-05, 0), S (0,5; ).

Примеры решения задач


Решение:


А (0, 0, 0), А1 (0, 0, 1), В (1, 0, 0), В1 (1, 0, 1), D (0, 1, 0), D1 (0, 1, 1), С (1, 1, 0),
 С1 (1, 1, 1).
Найдем координаты векторов (1, 0, 1) и = (0, 1, 1)
Найдем косинус угла между векторами = =; α=60.

Ответ: 60.