Решение задач на вычисление площадей.
В
задании B3 требуется найти площадь фигуры, которая задана точками на
координатной плоскости или на клетчатой бумаге.
В зависимости от фигуры, все задачи B3 делятся
на два типа:
·
площади
многоугольников;
·
площади
окружностей.
Вычисление площадей на клетчатой бумаге.
Нетрудно найти площадь многоугольника, если помнить важнейшее правило, вытекающее из свойств площади: если
фигуру разрезать на несколько частей, то сумма площадей этих частей равна
площади всей фигуры.
А мы познакомимся еще с одним способом вычисления площадей многоугольников.
Формула Пика (теорема Пика).
Площадь
многоугольника с целочисленными вершинами равна
S=n + k/2 − 1
|
,
где
n есть количество целочисленных
точек (узлов) внутри многоугольника, а k
— количество целочисленных точек(узлов) на границе многоугольника. Узел
координатной стеки — это любая точка, лежащая на пересечении вертикальных и
горизонтальных линий этой сетки.
n = 7, k = 8,
S=n+ k/2 − 1 = 10
Рассмотрим
обычный треугольник на координатной сетке и попробуем отметить внутренние узлы
(целочисленные точки внутри многоугольника) и граничные узлы( целочисленные
точки на границе многоугольника).
Как
считать числа n
и k?
Начните с внутренних узлов. Закрашиваем треугольник карандашом и смотрим,
сколько узлов попало под закраску.
В
нашем примере n=10, k=6. S=10+6/2-1=12.
В
частности, площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни
внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна ½.
Решение.
Отмечаем
внутренние и граничные узлы(сделайте самостоятельно). Внутренних узлов всего
n =
2. Граничных
узлов: k =
7, из которых 4
являются вершинами четырехугольника, а еще 3 лежат на сторонах.
S=n+k/2-1=2+7/2-1=4,5
Ответ: 4,5.
