Пособие по решению задач №14
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения. Пособие по решению задач С2. ЕГЗ 2013
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения. Пособие по решению задач С2. ЕГЗ 2013
Решение задач №14 методом координат.
В таких задач обычно требуется найти угол между прямыми или между плоскостями, или между прямой и плоскостью, а также расстояние между аналогичными объектами. Для этого удобно использовать векторы и метод координат.
Прямоугольная (декартова) система
координат – совокупность точки О
(называемой началом координат),
единицы измерения и трёх попарно перпендикулярных прямых Ox, Oy и Oz
(называемых осями координат: Ox – ось абсцисс, Oy – ось
ординат, Oz – ось
аппликат), на каждой из которых указано
направление положительного отсчёта. Плоскости хОу, уОz и zOx называют
координатными плоскостями.
Каждой точке пространства ставится в соответствие
тройка чисел, называемых её координатами.
Простейшие
задачи в координатах.
Определение координат вершин многогранников
1. Единичный куб A...D1
С (1, 1, 0), С1 (1, 1, 1).
2. Правильная треугольная призма A…C1 , все ребра, которой равны 1.
Координаты вершин: А (0, 0, 0), А1 (0, 0, 1), В (1, 0, 0), В1 (1, 0, 1), С (0,5; 
, 0),
, 0),
С1 (0,5; 
, 1).
, 1). 3. Правильная шестиугольная призма A...F1, все ребра которой равны 1.
Координаты вершин: А (0, 0, 0), А1 (0, 0, 1), В (1, 0, 0), В1 (1, 0, 1), С (1,5; 
, 0), С1 (1,5; 
, 1), D (1, 
(1, 
Е (0, 
, 
(0, 
,
F(-0,5 ,
0), 
(-0,5, 
1).
Решение:
, 0), С1 (1,5; , 1), D (1, (1, Е (0, , (0, ,F(-0,5 ,
0), (-0,5, 1).4. Правильная треугольная пирамида (тетраэдр) ABCD все ребра которой равны 1.
Координаты вершин: А (0, 0, 0), В (1, 0, 0), С (0,5; 
, 0), D (0,5, 
, 0), D (0,5, 5. Правильная четырехугольная пирамида SABCD, все ребра которой равны 1.
Координаты вершин: А (0, 0, 0), В (1, 0, 0), С (1, 1, 0), D (0, 1, 0
S (0,5; 0,5; 
).
S (0,5; 0,5; ).6. Правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2.
Координаты вершин: А (0, 0, 0), В (1, 0, 0), С (1,5; 
, 0), D (1, 
Е (0, 
,
, 0), D (1, Е (0, ,
F (-05, 
0), S (0,5; 
).
0), S (0,5; ). Примеры решения задач
А (0, 0, 0), А1 (0, 0, 1), В (1, 0, 0), В1 (1, 0, 1), D (0, 1, 0), D1 (0, 1, 1), С (1, 1, 0),
С1 (1, 1, 1).
Найдем координаты векторов 
(1, 0, 1) и 
= (0, 1, 1)
(1, 0, 1) и = (0, 1, 1)
Найдем косинус угла между векторами
=
=
; α=60.
= =; α=60.
Ответ: 60.
